Formule du binôme de Newton

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Modifié par Clemni

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Théorème

Soit $a$ et $b$ dans $C$ . Pour tout $n \in N$ , on a :
$\begin{array}{r} (a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k} . \end{array}$

Démonstration

Pour $n \in N$ , on note $P (n)$ la propriété :
$\begin{array}{r} (a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k} . \end{array}$

Initialisation
Montrons que $P (0)$ est vraie, c'est-à-dire :
$(a + b)^{0} = \sum_{k = 0}^{0} (\binom{0}{k}) a^{k} b^{- k} .$
D'une part : $(a + b)^{0} = 1$ .
D'autre part : $\sum_{k = 0}^{0} (\binom{0}{k}) a^{k} b^{- k} = (\binom{0}{0}) a^{0} b^{0} = 1 \times 1 \times 1 = 1$ .
La propriété $P (0)$ est donc vraie.

Hérédité
Soit $n \in N$ tel que $P (n)$ est vraie.
Montrons que $P (n + 1)$ est vraie, c'est-à-dire : $(a + b)^{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n + 1} (\binom{n + 1}{k}) a^{k} b^{n + 1 - k}$ .
Par hypothèse de récurrence, on a :
$\begin{aligned} (a + b)^{n + 1} = (a + b) (a + b)^{n} & = (a + b) \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k} \\ = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k + 1} b^{n - k} + \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n + 1 - k} . \end{aligned}$
On fait un changement d'indice dans la première somme, en posant $ℓ = k + 1$ . On a ainsi : $\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k + 1} b^{n - k} & = \sum_{ℓ = 1}^{n + 1} (\binom{n}{ℓ - 1}) a^{ℓ} b^{n - ℓ + 1} = \sum_{ℓ = 0}^{n + 1} (\binom{n}{ℓ - 1}) a^{ℓ} b^{n + 1 - ℓ} \end{aligned}$
car quand $k = 0, l = 1.$ On en déduit que :
$\begin{aligned} (a + b)^{n + 1} & = \sum_{ℓ = 0}^{n + 1} (\binom{n}{ℓ - 1}) a^{ℓ} b^{n + 1 - ℓ} + \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n + 1 - k} \\ = \sum_{k = 0}^{n + 1} (\binom{n}{k - 1}) a^{k} b^{n + 1 - k} + \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n + 1 - k} \\ = (\binom{n}{n}) a^{n + 1} b^{0} + \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k - 1}) a^{k} b^{n + 1 - k} + \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n + 1 - k} \\ = (\binom{n}{n}) a^{n + 1} b^{0} + \sum_{k = 0}^{n} [(\binom{n}{k - 1}) + (\binom{n}{k})] a^{k} b^{n + 1 - k} . \end{aligned}$

D'après la formule de Pascal, $(\binom{n}{k - 1}) + (\binom{n}{k}) = (\binom{n + 1}{k})$ , donc :
$\begin{aligned} (a + b)^{n + 1} & = (\binom{n}{n}) a^{n + 1} b^{0} + \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n + 1}{k}) a^{k} b^{n + 1 - k} \\ = (\binom{n + 1}{n + 1}) a^{n + 1} b^{0} + \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n + 1}{k}) a^{k} b^{n + 1 - k} \\ = \sum_{k = 0}^{n + 1} (\binom{n + 1}{k}) a^{k} b^{n + 1 - k} \end{aligned}$
car $(\binom{n}{n}) = 1 = (\binom{n + 1}{n + 1})$ . La propriété $P (n + 1)$ est donc vraie.

Conclusion
$P (n)$ est initialisée à $n = 0$ et est héréditaire à partir du rang 0 , donc elle est vraie pour tout $n \in N$ .

Source : https://lesmanuelslibres.region-academique-idf.fr
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