Formule du binôme de Newton

Théorème

Soit  `a` et  `b` dans `\mathbb{C}` . Pour tout  \(n \in \mathbb{N}\) , on a :
\(\begin{align*}(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^kb^{n-k}.\end{align*}\)

Démonstration

Pour \(n \in \mathbb{N}\) , on note \(\mathcal{P}(n)\) la propriété :
\(\begin{align*}(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^kb^{n-k}.\end{align*}\)

Initialisation
Montrons que \(\mathcal{P}(0)\)  est vraie, c'est-à-dire : 
\((a+b)^0=\sum\limits_{k=0}^0\binom{0}{k}a^kb^{-k} .\)
D'une part : \((a+b)^0=1\) .
D'autre part : \(\sum\limits_{k=0}^0\binom{0}{k}a^kb^{-k}=\binom{0}{0}a^0b^0=1 \times 1 \times 1 = 1\) .
La propriété \(\mathcal{P}(0)\) est donc vraie.

Hérédité
Soit \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie.
Montrons que \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie, c'est-à-dire : \((a+b)^{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k}a^kb^{n+1-k}\) .
Par hypothèse de récurrence, on a  :
\(\begin{align*}(a+b)^{n+1}= (a+b)(a+b)^n& = (a+b)\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^kb^{n-k}\\& = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{k+1}b^{n-k}+\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^kb^{n+1-k}.\end{align*}\)
On fait un changement d'indice dans la première somme, en posant \(\ell=k+1\) . On a ainsi : \(\begin{align*}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{k+1}b^{n-k}& = \sum_{\ell=1}^{n+1} \binom{n}{\ell-1}a^{\ell}b^{n-\ell+1}= \sum_{\ell=0}^{n+1} \binom{n}{\ell-1}a^{\ell}b^{n+1-\ell}\end{align*}\)
car quand \(k=0, l=1.\)  On en déduit que :
\(\begin{align*}(a+b)^{n+1}& = \sum_{\ell=0}^{n+1} \binom{n}{\ell-1}a^{\ell}b^{n+1-\ell}+\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^kb^{n+1-k}\\& = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n}{k-1}a^{k}b^{n+1-k}+\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^kb^{n+1-k}\\& = \binom{n}{n}a^{n+1}b^0+\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k-1}a^{k}b^{n+1-k}+\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^kb^{n+1-k}\\& = \binom{n}{n}a^{n+1}b^0+\sum_{k=0}^{n} \left[\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}\right] a^kb^{n+1-k}.\end{align*}\)

D'après la formule de Pascal, \(\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k}\) , donc :
\(\begin{align*}(a+b)^{n+1}& = \binom{n}{n}a^{n+1}b^0+\sum_{k=0}^{n} \binom{n+1}{k} a^kb^{n+1-k}\\& = \binom{n+1}{n+1}a^{n+1}b^0+\sum_{k=0}^{n} \binom{n+1}{k} a^kb^{n+1-k}\\& = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} a^kb^{n+1-k}\end{align*}\)
car \(\binom{n}{n}=1=\binom{n+1}{n+1}\) . La propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.

Conclusion
\(\mathcal{P}(n)\) est initialisée à  \(n=0\) et est héréditaire à partir du rang 0 , donc elle est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) .